线性代数正交化公式

线性代数中，正交化是将一组线性无关的向量转化为正交（垂直）向量的过程。施密特正交化是一种常用的正交化方法，其基本思想是对给定的线性无关向量序列，通过正交化过程生成一个新的正交向量序列。

施密特正交化公式如下：

设有一组向量 \\（\\{x_n\\}\\），其中 \\（\\{x_1, x_2, \\ldots, x_n\\}\\） 是线性无关的，施密特正交化过程生成的新向量序列为 \\（\\{e_1, e_2, \\ldots, e_n\\}\\），其中 \\（e_i\\） 是 \\（x_i\\） 的施密特正交化结果，则施密特正交化公式为：

\\[ e_i = x_i - \\sum_{j=1}^{i-1} \\frac{x_i \\cdot x_j}{x_j \\cdot x_j} x_j \\]

其中 \\（x_i \\cdot x_j\\） 表示向量 \\（x_i\\） 和 \\（x_j\\） 的内积。

单位化后的正交基为：

\\[ \\hat{e}_i = \\frac{e_i}{\\|e_i\\|} \\]

其中 \\（\\|e_i\\|\\） 是向量 \\（e_i\\） 的模长，计算公式为：

\\[ \\|e_i\\| = \\sqrt{e_i \\cdot e_i} \\]

以上是正交化及单位化的基本概念和公式。

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